Sembla que en qualsevol llistat de nombres “oficials” (censos, comptabilitats, valors de borsa, superfícies de països...) tots els dígits del 0 al 9 haurien d’aparèixer de forma equitativa en qualsevol de les posicions. Però la realitat és que si mirem la primera xifra, la que està més a l’esquerra del nombre el dígit 1 apareix amb més freqüència que qualsevol altre. Això és el que ens diu la Llei de Benford i que s’utilitza freqüentment per valorar la fiabilitat d’un conjunt de dades. La proposta d’aquesta setmana, suggerida per Cecília Calvo, del PuntMat, gira al voltant d’aquesta curiosa llei.

La Llei de Benford

L’enginyer i físic estatunidenc Frank Benford va redescobrir una observació numèrica feta anys abans per Simon Newcomb. El que ara es coneix com Llei de Benford afirma que als nombres de la vida real la xifra 1 és la que apareix més vegades com a primer dígit de les quantitats. En concret la probabilitats de que l’1 sigui el primer dígit és d’un 30%. Si estenem l’observació a la resta de dígits veurem que el 2 és més probable que el 3, el 3 que el 4.. i així, de forma ordenada, fins al 9. El decreixement de la probabilitat és, a més, logarítmic.

Aplicacions de la Llei de Benford

Una de les aplicacions més originals d’aquesta llei s’orienta a la valoració de l’autenticitat de dades, especialment comptables. Així aquesta llei s’utilitza per la detecció de fraus. Si les dades recollides s’allunyen de la Llei de Benford es detecta un primer símptoma d’engany. Per exemple, darrerament s’ha utilitzat per estudiar la veracitat de resultats electorals (Referèndum a Veneçuela al 2004) o als anomenats “Papers de Bárcenas”, (per cert que amb resultats contradictoris (diari ABC, bloc Sintetia  , bloc Mati, una profesora muy particular).

Propostes per a l’aula

• La proposta més senzilla és comentar a classe aquesta llei i buscar informació al respecte. També es pot confeccionar, a partir de la seva fórmula, un gràfic amb full de càlcul o GeoGebra (exemple)

• També es poden obrir discussions sobre els motius de la seva validesa. O buscar casos en els que no s’acompliran, com les guies telefòniques.

• Una altra proposta és estudiar-la amb alguns cas particular. Per exemple a partir de les dades de poblacions dels municipis de Catalunya, els moviments d’un compte corrent, les dades de pluviometria, els nombres de Fibonacci... A l'IDESCAT podem trobar interessants recopilacions de dades. La coincidència de les dades estudiades amb la llei també ve determinada per algunes premisses que poden ser objecte de discussió (la quantitat de dades analitzades, la presència de dades de diferents ordres de magnitud, ja que moltes dades entre 100 i 999, per exemple, esbiaixarien la llei, la manca de repetició de dades, com per exemple en dades comptables si hi ha entrades o sortides repetides periòdicament...)

Descarregar full de càlcul amb les dades de població dels municipis de Catalunya (font IDESCAT)

La xifra preferida

Amb els més petits a l’aula podem fer una indagació estadística sobre quina és la xifra preferida dels nens i nenes. Sovint els hem vist que quan calculen mostren signes d’alegria quan en el resultat apareix el dígit que més els agrada. també podem comprovar si com es diu popularment, la xifra preferida és el 7.

Un joc relacionat amb la xifra preferida és fer multiplicar el nombre 12345679 per la seva xifra preferida i, a continuació, per 9.

12345679 x 7 = 86419753

86419753 x 9 = 777777777