CESIRE

ARC

Correus periòdics

Subscriure'm



Joomla : CESIRE - CREAMAT

Àmbits CESIRE

aulatec
cesire cdec
cesire cirel

 

Portals

mmaca
 
Edu 365
Image

 

Llull i les matemàtiques (I): Un problema d’eleccions

És sempre el candidat més votat el més ben valorat? Si ens regim per “majories simples” farem sempre la millor elecció? Ramon Llull es va plantejar aquestes qüestions i va proposar un mètode d’elecció per preferències que juga amb la combinatòria. Pot ser el punt de partida d’una bona activitat d’aula.

Llull i el seu mètode d'elecció

Al nostre país l’elecció del president del govern es fa per una votació a la que es presenta un únic candidat i en la que ha d’obtenir la majoria absoluta sobre el total de diputats que formen el parlament. Guanya si obté més de la meitat de vots afirmatius. Si no s’arriba a aquesta majoria absoluta es fa una segona votació en la que només cal obtenir una majoria simple: guanyarà si obté una quantitat més gran de vots a favor que en contra. En tot cas no és un sistema que enfronti directament dos o més candidats a la vegada. Al segle XIII les eleccions a l’església (abadies, priorats...) es feia per votació seguint aquest sistema amb més d’un candidat. Si un d’ells obtenia més de la meitat de vots no hi havia problema. Però la majoria simple no es considerava un bon mètode perquè es podia donar el cas de que el guanyador tingués més contraris que partidaris. Llull va proposar un sistema que resolgués el problema de l’elecció quan no es produeix una majoria absoluta. Al capítol 24 del seu llibre Romanç d’Evast e Blanquerna (1823) explica una proposta de sistema de votació que supera aquest escull. Aquest sistema ja l’havia explicat en un escrit anterior Artificium electionis personarum i el va tornar a explicar a De arte eleccionis  (1299). Podem veure els facsímils de les tres obres, i la seva traducció al català, en aquest enllaç.

Expliquem-lo per un cas imaginari de 5 candidats: A, B, C, D i E que han obtingut la següent quantitat de vots:

No hi ha cap quantitat que hagi obtingut 51 vots, encara que A s’hi ha acostat. El que ens proposa Llull és trobar, en primer lloc, totes les combinacions de parelles de candidats. Les presentem en el quadre següent tal com ho feia el mateix Llull.

A continuació es fan tot un seguit de votacions:

 

  1. No participen A i B. La resta voten sobre qui dels dos prefereixen. S’adjudica un punt al candidat que guanya en aquella casella.
  2. No participen A i C. S’adjudica la casella al que obtingui més vots.
  3. No participen A i D....

D’aquesta manera es realitzen deu votacions diferents, sempre acarant dos dels candidats. Guanyarà el que hagi aconseguit més punts.
Mirem com s’aplica el mètode al nostre cas imaginari. Per fer-ho encara hem de continuar imaginant. Per exemple, que sabem l‘ordre de preferències dels partidaris de cadascun del grups de candidats:


 

Per a resoldre el primer confrontament AB observarem que:

  • El grup A votarà a A (11 vots ja que el candidat A no participa)
  • El grup B votarà a B (18 vots perquè el candidat B no participa)
  • El grup C votarà a B (45 vots)
  • El grup D votarà a A (21 vots)
  • El grup E votarà a A (3 vots)

D’aquesta manera el candidat A obtindrà 35 vots (11+21+3) i B aconseguirà 63 (18+45). Així aquesta casella la guanyarà B.

Continuem aplicant aquest procediment a cadascuna de les caselles per obtenir el següent quadre:


 

Com s’observa el candidat D és el que ha guanyat perquè ha obtingut una majoria parcial en quatre casos.

Segons paraules del mateix Llull (Artificium electionis personarum) amb aquest mètode “sempre es podran elegir homes convenients per a la dignitat prelatícia i es podrà evitar que es faci frau o simonia dins l’elecció mateixa”. Per altra banda afegeix que calen tres condicions, tres aspectes, per què l’elecció sigui justa: “el primer és l’honestedat i santedat de vida; el segon és la ciència i la saviesa; el tercer és una disposició adient del cor”.

Ens queda un tema pendent: què hem de fer en cas d’empat? Llull també proposa una solució.

“Tanmateix, si s’esdevingués que dues o més persones tinguessin un nombre igual de vots, cal que aquestes surtin de la seu i que les restants, que no han aconseguit tants vots, tornin a jurar, tot respectant els tres aspectes exposats més amunt, que escolliran preferentment la persona més digna i adient per a la dignitat en qüestió. Aquella sobre la qual concorrin més vots serà llavors elegida. Ara bé, si s’esdevé que concorren tants vots sobre una com sobre una altra, es farà un sorteig entre les persones que en aquesta darrera elecció han obtingut un nombre igual de vots i s’elegirà la persona afavorida per la sort.”


El mètode de Condorcet

Al segle XVIII el matemàtic i filòsof Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquès de Condorcet, va proposar un mètode semblant però en el que em comptes de fer les votacions per parelles cada votant escriu en un paper els noms dels candidats assignant un ordre de preferència. Després s’aplicava un sistema semblant comparant candidat a candidat a una taula de doble entrada i assignant punts per “victòria”. Podeu veure un exemple en el següent enllaç.

Propostes per a l’aula

  • A primària
  • es pot aplicar el mètode per a realitzar alguna votació. Pot ser la del delegat de classe o una simulada, per exemple fent votar entre tres, quatre o cinc personatges de conte o dibuixos animats. És interessant discutir per què triar “el candidat més votat” pot portar a no elegir “el candidat més ben valorat”. També es poden estudiar altres sistemes com fer dues rondes eliminant els candidats menys votats a la primera. Una tasca matemàtica clara consisteix en fer-los buscar, per utilitzar el mètode de Llull, les combinacions per a construir la taula de valoracions.
  • A secundària (a més de l’anterior)
  • aplicar el mètode amb una mateixa distribució de vots però canviant les preferències per veure com varien els resultats.
  • Investigar altres mètodes d’elecció i a quines contradiccions podem portar. Un article interessant sobre el tema és Sistemas electorales de Bartolomé Barceló. També es pot estudiar la paradoxa d’Arrow per a la selecció de prioritats i que porta a la conclusió de que no hi ha cap mètode del tot just. La podem trobar en aquest article d’Adrian Paenza i a la Viquipèdia.

Capítol 1 de la sèrie Matemática & Sufragio d'Adrián Paenza

Enllaç a la sèrie de 8 capítols

 

AddThis Social Bookmark Button